Auf der dargestellten Seite sind ganz grob gesagt links die reinen Intervallverhältnisse einzelner Töne zum Grundton gezeigt. Rein bedeutet ein ganzzahliges Verhältnis (z.B. 3/5)
Daneben ist mit der zweier Potenz der absolut gleichmäßige Abstand des folgenden Tones gezeigt. 12. Wurzel aus 2 oder anders ausgedrückt 2 hoch (1/12). Man sieht sofort die faktorischen Abweichungen von der reinen Stimmung links und den Faktoren der zweier Potenz
Der Grundton multipliziert mit diesem Faktor (2er Potenz) ergibt den nächsten Halbton darüber usw. Der Halbtonabstand ist immer gleich. Solche Stimmung erlaubt das Spielen aller Tonarten auf einem Tasteninstrument. Der Charakter der einzelnen Tonarten geht hierbei verloren.
Offensichtlich eine Erkenntnis von Werkmeister.
Googelt man Werckmeister kann man sich die Quinten und Akkorde der W1 bis W5 anhören und sich einen guten Überblick über einzelne Stimmungen verschaffen.
In der gezeigten Übersicht ist dann noch gezeigt welche Werte man mit der Katzbachschen Ähnlichkeit erreicht.
Aus meiner Sicht, ausgenommen wer sich tatsächlich damit näher beschäftigen will, relativ wertlos.
Ob sich dann tatsächlich jemand dafür interessiert und es käuflich erwerben will, ich glaub eher nicht. Ich habe mich mit diesen Themen viel beschäftigt als ich eine fein stimmbare Analogorgel mit digitalen Bausteinen gebaut habe. Da gab es die ICs mit 12. Wurzel 2- Ausgängen. Der Klang war langweilig.
Die Zusammenhänge hab ich hier nur grob dargestellt
Da gab es die ICs mit 12. Wurzel 2- Ausgängen. Der Klang war langweilig.
Zu diesen ICs (Top Octave Synthesizer) ist zu sagen, dass sie die korrekten Frequenzen durch Frequenzteilung eines 2MHz-Signals auch nur angenähert haben. Tabellen mit den Teilerverhältnissen finden sich im Internet, daraus könnte man sich die Abweichung in ct für jeden Halbtonschritt ausrechnen. Der langweilige Klang ist hauptsächlich der Tatsache geschuldet, dass diese Frequenzen absolut phasenstabil aus einem einzigen Signal erzeugt wurden, es gab also NULL Verschiebungen der Töne gegeneinander. Alles war phasenstarr gekoppelt, und das hörte man den Orgeln (z.B. Böhm nT Serie) dann auch an.
Ich hab mir die Abweichungen allerdings selbst nie ausgerechnet, die Annäherung an die gleichstufige Stimmung war aber recht gut.
Die Phase Starrheit ist in vielen Elektronischen Instrumenten ein Problem. Aber auch eine Gleichstufig gestimmte Pfeifenorgel klingt langweilig.
Ohne hier einen mathematischen Faden mit zweier Potenzen eröffnen zu wollen vielleicht zwei Beispiele;
Die Quinte zum Grundton steht im Verhältnis 3/2.
Für 440 Hz als Grundton schwingt die reine Quinte mit 660 Hz. Die Quinte ist 7 Halbtonschritte höher als der Grundton.
Für die zweier Potenz bedeutet das:
440 Hz x (2 hoch (7/12)) =659,255 Hz. Gegenüber der reinen Quinten mit 660 Hz ist sie um ca 0,75 Hz niedriger.
Die Terz zum Grundton steht im Verhältnis 5/4
Für 440 Hz als Grundton schwingt die reine Terz mit 550 Hz. Die Terz ist vier Halbtonschritte über den Grundton. Für die zweier Potenz bedeutet das:
440 Hz x (2 hoch (4/12)) = 554,37 Hz
Gegenüber der reinen Terz mit 550 Hz ist sie um ca. 4,4 Hz höher
In der Übersicht kann man nun die reinen Verhältnisse mit Potenzen unterschiedlicher Basen vergleichen, Schlüsse daraus ziehen (wie Werckmeister) und Stimmungen mit ungleichen Schwebungen herleiten und ausprobieren.
So, genug davon
Die Phase Starrheit ist in vielen Elektronischen Instrumenten ein Problem. Aber auch eine Gleichstufig gestimmte Pfeifenorgel klingt langweilig.
muss natürlich heißen:
eine gleichschwebend gestimmte Pfeifenorgel klingt langweilig.
